Volúmenes de Sólidos de Revolución

Solidos de revolución son aquellos que giran por su eje de rotación, por una región plana en el eje cartesiano x o y o rectas paralelas a los ejes.

Volúmenes de Sólidos de Revolución usando método de disco

En los ejemplos que desarrollaremos a continuación, utilizaremos el hecho básico de que un rectángulo de base dx y altura f(x), como en la figura, al girar en torno al eje x, genera un cilindro de radio f(x) y altura dx:

Cuyo volumen es

En los siguientes ejemplos los diferenciales de volumen serán de esta naturaleza.

Como en el caso del cálculo de áreas, el volumen del sólido lo obtendremos tomando límites de aproximaciones que también las identificaremos con integrales. En estos casos, las aproximaciones al volumen se harán por medio de volúmenes de cilindros, cada uno de los cuales está generado por la rotación de un rectángulo de los que aproximan el área de la región que lo genera.

A partir de aquí no utilizaremos explícitamente las subdivisiones, sino sólo los elementos genéricos (diferenciales de área y de volumen).

Sólido de revolución gira en eje ‘x’

Sólido de revolución gira en eje ‘y’

Ejemplos

Ejemplo 1: Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar en torno al eje x el triángulo

de la figura:

Solución: Al girar esta región alrededor del eje x, se genera un cono de altura 4 y radio 2 como se muestra en la siguiente figura.

Aunque sólo se dibuja un rectángulo genérico, debemos pensar que los rectángulos son una aproximación al área de la región y que al girar el sistema completo (la región y los rectángulos que la aproximan) obtendremos una aproximación al volumen del sólido mediante los volúmenes de cilindros. El límite de dichas aproximaciones, la integral, nos dará el volumen del sólido generado.

Para cada x ∈ [0, 4], al girar el rectángulo genérico de la figura de la izquierda, en torno al eje x, genera el cilindro genérico de la derecha, el cual tiene volumen:

Siendo el volumen

Lo cual verifica el resultado dado por la conocida fórmula de la geometría para el volumen de un cono de altura h y radio r.

Ejemplo 2:

Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar en torno al eje x la parábola y = x² en el intervalo [0, 1].

Solución:

Para cada x ∈ [0, 1]

y por lo tanto el volumen del sólido es:

Volúmenes de Sólidos de Revolución por el método de Corteza Cilíndrica

Existe otro método para encontrar el volumen de un sólido de revolución: el método de los cascarones cilíndricos. Para muchos problemas, es más fácil de aplicar que el método de los discos o el de las arandelas.

Un cascarón cilíndrico es un sólido acotado por dos cilindros circulares rectos concéntricos (véase la figura 1). Si el radio interno es r1, el radio externo es r2 y la altura es h, entonces su volumen está dado por

dV = 2πdr

Ahora, considere una región del tipo que se muestra en la figura 3. Rebánela de manera vertical y hágala girar en torno al eje y. Generará un sólido de revolución y cada rebanada generará una pieza que es aproximadamente un cascarón cilíndrico. Para obtener el volumen de este sólido, calculamos el volumen ΔV de un cascarón representativo, sumamos y tomamos el límite cuando el grosor de los cascarones tiende a cero. Por supuesto, lo último es una integral. De nuevo, la estrategia es rebane, aproxime, integre.

Las formulas que se usaran son: