Centro de Masa - Centroide

¿Qué es el centro de masa?

El centro de masa es una posición definida en relación con un objeto o a un sistema de objetos. Es el promedio de la posición de todas las partes del sistema, ponderadas de acuerdo con sus masas.

Para objetos rígidos sencillos con densidad uniforme, el centro de masa se ubica en el centroide. Por ejemplo, el centro de masa de un disco uniforme estaría en su centro. Algunas veces el centro de masa no está en ningún lado sobre el objeto. El centro de masa de un anillo, por ejemplo, está ubicado en su centro, en donde no hay material.

Centro de masa: es la única posición en la cual los vectores de posición ponderados de todas las partes de un sistema suman cero. Y la masa es proporcional al área, se tiene la siguiente ecuación:

Considerar el sistema unidimensional, tal como se muestra en la siguiente figura, formado por una varilla (de masa despreciable) y las masas m1 & m2.

Como se puede apreciar, la varilla tiene una longitud de un metro y se encuentra apoyada en el punto A. En un extremo se encuentra la masa m₁ y en el otro la masa m₂ a una distancia de 0.6 m y 0.4 de A, respectivamente.

La varilla se encuentra en equilibrio lo cual implica que se cumple:

(m₁)(d₁) = (m₂)(d₂) (ley de la Palanca)

Se dice que el punto A sobre la varilla es el centro de masa del sistema unidimensional formado por las masas y la varilla.

Centroide

Definimos al centroide como el centro geométrico de una región. De la misma forma que el centro de masas puede ser interpretado como una media ponderada donde el peso es la masa de la región, podemos ver que al centroide como una media donde el peso es el volúmen, pero recordemos que la masa es proporcional al área bajo la curva de una función, por ende se tiene la siguiente ecuación.

Adicional a lo mencionado anteriormente tenemos el siguiente gráfico que nos sirve de referencia de todo lo que se ha hablado junto a las fórmulas que se usarán para hallar el centroide en una superficie.

Centroide (Xc, Yc)

Ahora se presentarán algunos ejemplos en los cuales calcularemos el centroide del área bajo la curva de una función.

Encuentra el centroide del área bajo la curva de la parábola y = 4 – x² en [-2, 2]

Primero hallamos la función primitiva, el área:

Ahora buscamos los valores de Xc y Yc los cuales serán la coordenada donde del centroide de la gráfica (Xc significa punto x del centroide y Yc punto y del centroide):

-          Xc:

-          Yc:

R// El centroide se encuentra en (0, 8/5) ubicado sobre el eje ‘y’ como se esperaba por ser una función simétrica con respecto al eje ‘y’.