Valor aproximado de una raíz por diferenciales.

Antes de introducir a este tema, primero volvamos a recordar que es el cálculo diferencial.

“El Cálculo Diferencial es una materia tradicional en los planes de estudio y forma una de las ramas más importantes de las matemáticas y de las ciencias. Vivimos en un mundo caracterizado por cambios continuos, y por tanto, es importante desarrollar métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar esos cambios. Justamente tal es el propósito del Cálculo Diferencial, que es la matemática de los cambios.”

Bien, ahora que ya recordamos lo que es el cálculo diferencial, podemos seguir con este tema de aproximaciones usando diferencial.

Una aproximación en matemáticas es un número que no es el valor exacto de algo, pero está tan cerca de este que se considera tan útil como dicho valor exacto.

Cuando en matemáticas se realizan aproximaciones es porque manualmente resulta difícil (o en algunas ocasiones imposible) conocer el valor preciso de lo que se quiere.

La herramienta principal cuando se trabaja con aproximaciones es la diferencial de una función. La diferencial de una función f, denotada por Δf(x), no es más que la derivada de la función f multiplicada por el cambio en la variable independiente, es decir, Δf(x)=f'(x)*Δx.

La fórmula que se aplica para realizar una aproximación a través de la diferencial surge justamente a partir de la definición de la derivada de una función como un límite.

Esta fórmula viene dada por:

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)*(x-x0) = f(x0) + f'(x0)*Δx.

Aquí se entiende que Δx=x-x0, por lo tanto, x=x0+Δx. Utilizando esto la fórmula puede reescribirse como

Nota: Cabe destacar que “x0” no es un valor arbitrario, sino que es un valor tal que f(x0) es conocido fácilmente; además, “f(x)” es justo el valor que queremos aproximar.

Ejemplos

Ejemplo 1:

Para calcular el valor de la raíz a un cuadrado no perfecto por diferenciales se debe tener en cuenta los siguientes pasos:

• Encontrar una función aproximada.

f( x ) = √x

√10

Tomamos nuestra raíz y buscamos un número con raíz cuadrada perfecta anterior y posterior al número que deseamos obtener. Entonces tenemos:

Sabiendo la raíz resultante de estos dos números, podemos intuir que √10 es 3,... (3 coma y algo).

Ahora debemos tomar una de las dos raíces de referencia, tomando así la que más se aproxime al 10, en este ejemplo √9 es la que más se aproxima.

• Encontrar x y ∆x.

Representamos √10 como √(9+1) donde 9 será x y 1∆x

• Calcular f'(x).

• Calcular aproximadamente el valor que queremos buscar.

Usando reemplazamos:

Se ha logrado encontrar el valor aproximado de √10 que es ≈ 3,333…

Ejemplo 2:

Aproximar √3.

f( x ) = √x

Se buscan raíces de cuadrados perfectos, en este caso no se elide 1 sino a 4 y por ser mayor a la raíz principal se realizará la resta en la fórmula :

√1 - √3 - √4

x = 4 y dx =1

se reemplaza los datos en la derivada de √x

Reemplazamos los valores en la fórmula:

Entonces tenemos que la raíz de √3 ≈1.73205…