Longitud de Arco
"Es la distancia recorrida a lo largo de una curva o dimensión lineal."
Al considerar una curva definida por una función f(x) y su respectiva derivada f ′(x) que son continuas en un intervalo [a,b] , la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
Por otro lado, si una curva tiene como ecuación x = g(y) con a ≤ y ≤ y y g’(y) continua, entonces la longitud de arco se reescribe como.
Si la curva está definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como x=f(t) e y=g(t) , a la longitud del arco desde el punto (f(a),g(a)) hasta el punto (f(b),g(b)) , es dada por:
Veamos los ejercicios a continuación para el cálculo de algunas
longitudes de arco de algunas funciones en un intervalo.
Ejemplos
Ejemplo 1:
Determinar la longitud de arco de la parábola dada como y2 = x3: entre los puntos (1, 1) y (4, 8).
Tenemos que y2 = x3 => y = x3/2
Derivando la función anterior, se tiene que:
Utilizando la formula para hallar la longitud del arco:
Integramos por el método de cambio de variable.
Ejemplo 2:
Encontrar la longitud de la curva. Compruebe ese resultado usando los conocimientos adquiridos en Geometría Analítica
Comprobación con la fórmula de la distancia:
Comentarios
Publicar un comentario