Integración por sustitución o cambio de variable

 El método de sustitución o cambio de variables se aplica cuando se presentan funciones compuestas donde la integración directa ya no sea posible.

Se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita convertir el integrando en algo sencillo. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena.

La dificultad del método es escoger un cambio útil, ya que, en caso contrario, la integral resultante puede ser de mayor dificultad.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Reemplazamos:

Cambiamos u:

Ejemplo 3:

Donde:

Se reemplaza:

Se evalúa la integral directa:

Se reemplaza el valor de u:

Ejemplo 4:

Donde:

Se reemplaza:

Se evalúa la integral directa:

Se reemplaza el valor de u:

El método de cambio de variable es un poco más complicado cuando se aplica en integrales definidas porque al cambiar la variable, deben actualizarse los extremos de integración. Por ejemplo, si los extremos de la integral inicial con variable x son 0 y 1 y la nueva variable es z = 2x, entonces, los nuevos extremos serán 0 y 2. Una forma de evitar este problema es resolver primero la integral indefinida.