Integración Mediante el Desarrollo de Fracciones Parciales

Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces a la expresión f(x)/g(x) se le denomina fracción racional.

Si el grado de f(x) es menor que el grado de g(x), entonces a la fracción se le llama propia. Es impropia Cuando el grado del numerador es de igual o mayor grado que el denominador.

Cuando se requiere integrar una fracción racional propia de la forma:

La fracción pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales cuyos denominadores son los factores de la fracción dada y los numeradores no son conocidos y solo bastaría investigar cual es el numerador de cada una de ellas.

Regla general

Sea una fracción propia. Entonces:

Se podrá expresar en tantas fracciones parciales como factores tenga el denominador q(x).
Cada denominador de las fracciones parciales es un factor de q(x)
El numerador de cada fracción parcial será un polinomio de un grado menor a su denominador.

Cuando los términos de la suma:

se combinan por medio de un denominador común, se obtiene la expresión racional:

Así:

El método de integración mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en descomponer en fracciones parciales la fracción racional propia y a partir de ello, obtener la integral de cada una de dichas fracciones. De esta manera se obtiene la integral de la fracción racional.

En la integración por fracciones parciales existen 4 casos posibles para la descomposición de la fracción racional, estos factores son:

Lineales diferentes: En donde todos los factores a_ix+b_i son distintos y el grado de del numerador es menor al denominador.

Lineales que se repiten: En donde el exponente del denominador es mayor que 1 y el grado del numerador es menor que el grado del denominador

Cuadráticos irreducibles diferentes: En donde todos los factores a_ix²+b_ix+c_i son distintos y el grado del numerador es menor que el exponente del denominador (2n).

Cuadráticos irreducibles que se repiten. En donde el exponente es mayor que 1 y el grado del numerador es menor que 2n

Ejemplos

Ejemplo 1.

Consideremos la integral

La función racional

es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) podemos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos

conocer las raíces reales del denominador, como

x² + 2x − 3 = (x + 3) (x − 1)

se sigue que

luego por el método de las fracciones parciales, existen constantes A y B tales que

Para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los métodos conocidos, por ejemplo, multiplicar ambos lados de la expresión por el denominador

5x + 3 = A (x − 1) + B (x + 3)

evaluando la igualdad en x = 1 obtenemos

8 = A · 0 + 4B =⇒ B = 2

evaluando la igualdad en x = −3 se obtiene

−15 + 3 = A (−4) + B · 0 =⇒ A = 3

se sigue

Luego

El procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas raíces reales como el grado del polinomio y todas las raíces distintas.

Ejemplo 2:

Como ya conocemos las raíces del denominador, efectuamos la descomposición en fracciones parciales:

y aplicamos alguna técnica que nos permita encontrar los valores de las constantes, por ejemplo, multiplicar por el denominador

2x − 1 = A (x − 2) (2x − 3) + B (x − 1) (2x − 3) + C (x − 1) (x − 2)

evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos

2 − 1 = A (1 − 2) (2 − 3) + B · 0 + C · 0

así

1 = A (−1) (−1) =⇒ A = 1

evaluando en x = 2 se obtiene

4 − 1 = A · 0 + B (2 − 1) (4 − 3) + C · 0

así

3 = B

y finalmente, evaluando en x = 3/2 se obtiene

Así

Se sigue

Luego

Donde

(Recuerde que al derivar por la regla de la cadena se debe multiplicar por 2).

Ejemplo 3: Calcular

Notemos que es una función racional propia, luego podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones parciales (no necesitamos dividirlos polinomios) luego