Aplicaciones Integrales Definidas - Cálculo de Área y Áreas de curvas polares

La aplicación de las Integrales definidas

Es muy común en la ingeniería y en la matemática en general. Se utiliza principalmente para el cálculo de áreas, volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

A continuación, se muestran una imagen que dan una vista previa a lo anterior mencionado. 

Cálculo de Área

La tarea de seleccionar la integral correcta es más difícil cuando tenemos regiones entre dos curvas (dos funciones). Sin embargo, hay una manera de pensar que puede ser muy útil. Aquí está en cinco pasos.

Paso 1: Bosqueje la región.

Paso 2: Córtela en pedazos delgados (tiras); marque una pieza representativa.

Paso 3:Aproxime el área de esta pieza representativa como si fuese un rectángulo.

Paso 4: Sume las aproximaciones a las áreas de las piezas.

Paso 5:Tome el límite cuando el ancho de las piezas se aproxima a cero, obteniendo así una integral definida.

Antes de introducirnos más al cálculo de áreas, recordemos:

Las aplicaciones de la integral definida son variadas, siendo el cálculo de áreas una de ellas.

Caso 1:

Si la función f es no negativa en el intervalo [a, b], entonces su integral definida es el área que encerrada entre su gráfica y el eje OX:

La representación corresponde a la gráfica de la función: f (x) = x²

El área que encierra su gráfica con el eje X en el intervalo [0, 2] es la siguiente integral definida:

Caso 2:

Si la función f es no positiva en el intervalo [a, b], entonces su integral definida es el área encerrada entre su gráfica y el eje X, pero con valor negativo:

La representación corresponde a la gráfica de la función f (x) = -x²

Caso 3: Región negativa y positiva

Recordad la siguiente propiedad de las integrales definidas para a ≤ b ≤ c:

Si la función f es negativa y positiva, la región que encierra su gráfica con el eje X está dividida en varias regiones, algunas sobre el eje y otras bajo éste:

La representación corresponde a la gráfica de la función: f (x) = x² - 4x + 3

El área que encierra su gráfica con el eje OX en el intervalo [0, 2] esta dividida en dos regiones. Su área es

Tenemos que calcular una integral para cada región porque en la región que está bajo el eje, la integral es negativa.

Si no se calculan las integrales por separado, el resultado de la integral es menor o igual que el área, puesto que estamos sumando áreas positivas y negativas.

La primera integral es

La segunda es

Por tanto, el área total de la región es:

Caso 4: Área entre dos gráficas

El área encerrada entre las gráficas de las funciones en el intervalo f y g en el intervalo [a, b] viene dada por la integral de la resta de las funciones:

Observemos que la integral anterior es la resta de las áreas que encierran, por separado, ambas gráficas con el eje de abscisas:

Consideraciones:

El integrando debe ser la función cuya gráfica está arriba menos la función cuya gráfica está abajo.

Si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas o bajo dicho eje, hay que proceder según se explicó anteriormente.

Observemos que los extremos del intervalo de la integral son los puntos donde las gráficas interceptan.

Ejemplo:

Se tiene las funciones:

Cuya grafica es:

Estas graficas interceptan en los puntos:(0, 0); (2, 4)

Es fácil ver que el área que encierran viene dada por la integral definida

Observad que en la integral hemos escrito f / g porque la gráfica de f está por encima de la de g: el área corresponde al área que encierra la gráfica de con el eje X menos el área que encierra la de g con el eje X.

Además, el área corresponde con la integral porque la región está situada sobre el eje X. De no ser así, debemos calcular el área con un valor absoluto y/o con varias integrales.

Ejemplo 2:

Hallar el área comprendida entre las curvas y = 8-2x²; y = 4- x²

Haciendo la prueba de simetría a ambas funciones:

Límites de integración:

Ejemplo 3:

Hallar el área comprendida entre la parábola y²-2y+x-8=0, las recta x=0, y=-1, y=3

Áreas de curvas polares

Antes de adentrarnos en este tema donde también se aplica el cálculo integral, La gráfica de una ecuación polar está denotada por: r = f (θ) y los rayos θ = a y θ = b.

Recordemos que el área del sector de un círculo es proporcional a su ángulo central:

Entonces, aplicando la integración en la fórmula de arriba para poder hallar área de una región acotada por una curva polar es la siguiente

Donde: θ = θ₁- θ₂

Ejemplos

Ejemplo 1: Calcular el área encerrada por la curva r=4senθ

Aplicando la formula para calcular el área de curvas polares.

El área calculada es la mitad del círculo. El área total será el doble: 4π

Ejemplo 2: Calcular el área comprendida entre r=4senθ y r=4cosθ

Los puntos de intersección se obtienen igualando las ecuaciones r=4senθ y r=4cosθ

Los ángulos para el cual es igual senθ al cosθ son 0 y π/4

Para θ=0, r=0; para θ= π/4, r = √2

La figura de la derecha es una ampliación del área de intersección de la figura izquierda. En la figura derecha se puede apreciar una diagonal que divide el área de intersección. ① y son áreas diferenciales.

Para el cálculo del área de la mitad inferior se usa r=4senθ, el área diferencial ① y los límites de integración para θ son 0 a π/4.

Para la mitad superior del área sombreada se trabaja con la curva r=4cosθ, el área diferencial ② y los límites de integración para θ son π/4 a π/2.

El área total es la suma de las dos áreas ya calculadas:

Ejemplo 3: Calcular el área de intersección que se encuentra del lado de afuera de las curvas r=6cosθ y dentro de r=2cosθ+2

Cálculo de los puntos de intersección de las curvas:

Los puntos de intersección son: (3,π/3) y (3,5π/3)

Ya que la figura es simétrica con respecto al eje x, se trabajará solo con la parte superior.

El área pedida se calcula restando A₂-A₁ integrada entre π/3 y π para A₂ y entre π/3 y π/2 para A₁